APRECIACION DEL LIBRO DIABLO DE LOS NUMEROS.
El libro del diablo de los números es un cuento de un niño de nombre Robert, que al dormir soñaba con el diablo de los números, como a la gran mayoría de los niños no les gustaban las matemáticas y las odiaba.
Desde nuestra perspectiva acerca del libro la verdad que es una forma dinámica de aprender lo elemental de las matemáticas, ver cómo sin querer de una u otra forma el profesor de matemáticas en los inicios de la escuela hace que uno como alumno no le interese esta materia, por su metodología de enseñanza la hacen aburrida y hasta compleja, y crecemos con esa mentalidad que esta materia es la más complicada y aburridora de todas, no es hablar en contra del profesor y achacarle todo, pero tiene mucho que ver; por otra parte esta la posición del alumno que ve la materia como algo tan aburrido que le demostramos apatía, desinterés y hasta crecemos con la fobia a esta materia, debemos aceptar que no a todos se les facilita esta área, y que hay personas con más facilidad para entender que otras, pero también es de resaltar que con empeño y dedicación se puede superar, que nosotros somos lo que magnificamos las cosas, como dice en el diablo de los números, lo diabólico de los números es lo sencillo que son.
Como Robert el niño del libro de los números que quiso adivinar en matemáticas, esto es real muchos por salir del paso quieren adivinar pero es tan sencillo que en las matemáticas todo se resuelve con exactitud, y se realizan pruebas para saber si un ejercicio esta bueno o no.
Cuando se les presta atención a las matemáticas ya no la vemos tan monstruosa si no que vamos tomando confianza y nos va resultando cada vez mas fácil entenderla y ya no la vemos como algo gigante que no podemos alcanzar si no como algo a donde debemos llegar y lo tomamos como un reto hasta que ya la vemos como algo que se aplica cotidianamente en nuestro diario vivir.
Nuestros temores y miedos son los que no nos dejan avanzar y está en nuestra mente el poder superar los obstáculos y derrumbarlos, muy sencillo como hizo Robert el niño que no se dejo aplastar, le perdió el temor a los números, hasta amigos se hicieron, y sus temores, miedos a un lado quedaron.
viernes, 9 de septiembre de 2011
TRABAJO DEL DIABLO DE LOS NUMEROS
EL DIABLO DE LOS NUMEROS.
A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas personas, porque no las acaba de entender Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los números.
Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las Matemáticas.
Robert dice que odia todo lo que tenga que ver con las matemáticas, pero el diablo le dice que las éstas no son lo que él piensa pues ni siquiera requiere la calculadora y que para empezar sólo necesita “el uno”, pues de uno en uno llega hasta el infinito porque existen números infinitamente grandes e infinitamente pequeños. El diablo le explica cómo se hacen los demás números a partir del uno. Robert sigue practicando con la calculadora pero ésta explota y el diablo le dice que con una más grande puede seguir calculando hasta que se aburra. El diablo se pone furioso con Robert y explota. Robert despierta y se burla por haber arrinconado el diablo.
La segunda noche, Robert vuelve a soñar con el diablo y entre charla y charla el diablo concluye que falta el cero; Robert pregunta el por qué y el diablo le dice que porque el cero es el número más refinado. Luego el diablo le dice que los números romanos son complicados por no tener el cero. Como Robert no comprende el significado del cero, el diablo le explica cómo llegar al cero pues sin él no funcionan las cosas. Después el diablo le dice gracias a la existencia del cero puede dar grandes saltos con los números y fabricar números corrientes, grandes y pequeños. Como Robert es arrogante, el diablo le dice que le falta ver números quebrados, imaginados, irrazonables, etc., y en medio del desespero Robert se despierta asustado.
El tercer día, el sueño de Robert es que va a dividir pero dice que no le gusta porque quedan restos. El diablo le dice que el punto de partida es saber cuándo queda un resto y cuándo no. Le sugiere dividir el 19 en partes iguales hasta que no quede nada; Robert le dice que siempre le da resto. El diablo le cuenta que existen números que se pueden dividir y otros que no, como el 11, 13, o el 17 y que son números de primera, números maravillosos. Le explica, por medio de una tabla, del 2 al 50, cómo se saca la lista de estos números maravillosos, hasta que quedan sólo 15 números (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47). Luego dice a Robert que al coger cualquier número mayor que 1 y duplicarlo siempre va a existir entre ellos al menos un número de primera; y que también sucede con cifras grandes y números pares, como por ejemplo el 48 (31 + 17). Mientras esto pasa, el diablo se desvanece del sueño.
La cuarta noche: En este sueño, Robert se encuentra con el diablo en una playa y después de la acostumbrada charla, éste hace aparecer una calculadora y le dice a Robert que teclee 1 entre 3; aparece 0.3333333…, y dice Robert que para eso escribe 1/3, pero desiste cuando el diablo le dice que tiene que calcular en quebrados. Robert quiere saber de dónde salen esos treses y el diablo le explica, concluyendo que los números siguen eternamente. El diablo le dice que eso parece, pero que si suma los tres tercios le resulta 1, porque 1/3 por 3 da un entero. Luego el diablo le explica a Robert que existen otros números que no atienden a las reglas del juego y que por ese se llaman irrazonables; que se resuelven saltando hacia atrás, pero se dice sacar un rábano, como cuando se saca una raíz del suelo. El diablo le pone Robert ejemplos sencillos pero se altera cuando le sale una cifra grande y le dice a Robert que eso es un número irrazonable. Y así terminó la cuarta noche de sueños para Robert.
Quinta noche: El diablo le explica a Robert, por medio de unos cocos, cómo funcionan los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55…). Después le pide a Robert que le dé un número para demostrarle que puede confeccionarlo con máximo tres números triangulares (51=15+36, 83=10+28+45, 12=1+1+10). Luego dice que si suma dos números triangulares sucesivos verá un milagro (1+3=4, 3+6=9, 6+10=16, 10+15=25), a lo que Robert responde que son números saltados (2², 3², 4², 5²). El diablo le enseña a Robert muchos trucos con estos números y finalmente, le explica algo sobre los números cuadrados, pero Robert se pone de pie y se lanza inmediatamente a la piscina infinita de números.
La sexta noche: En este sueño el diablo le dice a Robert que tiene un amigo llamado Bonatschi que entendió el 0 y se le ocurrió la idea de los números de Bonatschi. El diablo le dice que Bonatschi empezó con el 1, más exactamente con el 1+1=2 y luego cogió las 2 últimas cifras y las sumó hasta el aburrimiento (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…). El diablo le escribe a Robert los números de Bonatschi en un pergamino mágico que era interminable. Después el diablo le enseña otros trucos con estos números, pero esta vez se vale de un reloj, que en vez de horas marcaba meses, y de unas libres, que terminaron por espantar Robert pues se multiplicaron por montones. Cuando acaba la pesadilla Robert sigue durmiendo tranquilamente hasta que un reloj lo despierta.
La séptima noche: Esta vez el diablo lleva a Robert a una casa en forma de cubos y a partir de una base de 16 cubos, construyen un triángulo. Luego el diablo le dice a Robert que coloque en el cubo más alto del triángulo el número 1 y en cada uno de los otros cubos escriba lo que resulte de sumar encima y así hasta terminar. El diablo le dice a Robert que, además de encontrar en este triángulo los números normales, también puede hallar los números triangulares, los saltados, los de Bonatschi, los números pares y los impares, diferenciados con colores luminosos que hacen brillar al triángulo. También le dice a Robert que el triángulo de los de los números es antiquísimo y que lo inventó un chino. Después de aprender muchas cosas sobre este triángulo, Robert se queda profundamente dormido
La octava noche: En este sueño Robert se encuentra en el salón de clases con algunos de sus compañeros y como profesor está el diablo de los números, que en esta ocasión le enseña las posibilidades (en este caso 24) que hay para intercambiar puestos entre varios de sus compañeros, utilizando las iniciales de los nombres de cada uno de ellos (A B C D). También el diablo le dice a Robert que le gustaría saber qué pasa si el mundo da la mano a todo el mundo; y llegan a la conclusión que es una operación que se puede solucionar por medio de los números triangulares. Luego le dice que si no quiere pasar tanto tiempo calculando puede hacerlo dibujando unos círculos. El diablo se despide de Robert diciéndole que se va a tomar unas vacaciones.
La novena noche: Robert sueña infinidad de números que parecen ciclistas. Robert pregunta por el cero y éste sale debajo de su cama porque dice que está enfermo, entonces el diablo le dice que se vaya. El diablo ya ha hecho formar a los números y salen en fila los números normales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…), los números impares (1, 3, 5, 7, 9, 11…), los números de primera, los números de Bonatschi, los triangulares, los saltarines. Después le enseña las series y le explica trucos con los números quebrados. El diablo desaparece sin hacer ruido.
La décima noche: Robert está con el diablo en una sala de cine y éste le da un ordenador para que practique. El diablo le enseña, con las clases de números ya vistos, como la serie de Bonatschi, los números normales, los números quebrados, con lo saltados, que el péndulo oscila cada vez más hacia una cifra media (1, 618 033 989…), dando en las clases de números este mismo resultado. También le enseña, por medio de un pentágono y otras figuras geométricas, que esta cifra no sólo se aplica a los números. La voz del diablo se fue haciendo más débil y Robert despertó recordando sólo el 1, 6…
La undécima noche: En el sueño Robert le dice al diablo que quiere saber algo más de todo lo que le ha enseñado y por qué todo sale exacto. El diablo le explica que para todo hay unas pruebas o principios que se deben demostrar. Le cuenta que uno de sus colegas (Lord Russell) quiso hacer una demostración y con el tiempo alguien comprobó que era falsa, por eso con los números todo debe ser comprobado. Finalmente, el diablo quiere hacerle entender a Robert que en las Matemáticas siempre hay por hacer. Con esta conversación el diablo desapareció del sueño de Robert.
A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas personas, porque no las acaba de entender Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los números.
Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las Matemáticas.
Robert dice que odia todo lo que tenga que ver con las matemáticas, pero el diablo le dice que las éstas no son lo que él piensa pues ni siquiera requiere la calculadora y que para empezar sólo necesita “el uno”, pues de uno en uno llega hasta el infinito porque existen números infinitamente grandes e infinitamente pequeños. El diablo le explica cómo se hacen los demás números a partir del uno. Robert sigue practicando con la calculadora pero ésta explota y el diablo le dice que con una más grande puede seguir calculando hasta que se aburra. El diablo se pone furioso con Robert y explota. Robert despierta y se burla por haber arrinconado el diablo.
La segunda noche, Robert vuelve a soñar con el diablo y entre charla y charla el diablo concluye que falta el cero; Robert pregunta el por qué y el diablo le dice que porque el cero es el número más refinado. Luego el diablo le dice que los números romanos son complicados por no tener el cero. Como Robert no comprende el significado del cero, el diablo le explica cómo llegar al cero pues sin él no funcionan las cosas. Después el diablo le dice gracias a la existencia del cero puede dar grandes saltos con los números y fabricar números corrientes, grandes y pequeños. Como Robert es arrogante, el diablo le dice que le falta ver números quebrados, imaginados, irrazonables, etc., y en medio del desespero Robert se despierta asustado.
El tercer día, el sueño de Robert es que va a dividir pero dice que no le gusta porque quedan restos. El diablo le dice que el punto de partida es saber cuándo queda un resto y cuándo no. Le sugiere dividir el 19 en partes iguales hasta que no quede nada; Robert le dice que siempre le da resto. El diablo le cuenta que existen números que se pueden dividir y otros que no, como el 11, 13, o el 17 y que son números de primera, números maravillosos. Le explica, por medio de una tabla, del 2 al 50, cómo se saca la lista de estos números maravillosos, hasta que quedan sólo 15 números (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47). Luego dice a Robert que al coger cualquier número mayor que 1 y duplicarlo siempre va a existir entre ellos al menos un número de primera; y que también sucede con cifras grandes y números pares, como por ejemplo el 48 (31 + 17). Mientras esto pasa, el diablo se desvanece del sueño.
La cuarta noche: En este sueño, Robert se encuentra con el diablo en una playa y después de la acostumbrada charla, éste hace aparecer una calculadora y le dice a Robert que teclee 1 entre 3; aparece 0.3333333…, y dice Robert que para eso escribe 1/3, pero desiste cuando el diablo le dice que tiene que calcular en quebrados. Robert quiere saber de dónde salen esos treses y el diablo le explica, concluyendo que los números siguen eternamente. El diablo le dice que eso parece, pero que si suma los tres tercios le resulta 1, porque 1/3 por 3 da un entero. Luego el diablo le explica a Robert que existen otros números que no atienden a las reglas del juego y que por ese se llaman irrazonables; que se resuelven saltando hacia atrás, pero se dice sacar un rábano, como cuando se saca una raíz del suelo. El diablo le pone Robert ejemplos sencillos pero se altera cuando le sale una cifra grande y le dice a Robert que eso es un número irrazonable. Y así terminó la cuarta noche de sueños para Robert.
Quinta noche: El diablo le explica a Robert, por medio de unos cocos, cómo funcionan los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55…). Después le pide a Robert que le dé un número para demostrarle que puede confeccionarlo con máximo tres números triangulares (51=15+36, 83=10+28+45, 12=1+1+10). Luego dice que si suma dos números triangulares sucesivos verá un milagro (1+3=4, 3+6=9, 6+10=16, 10+15=25), a lo que Robert responde que son números saltados (2², 3², 4², 5²). El diablo le enseña a Robert muchos trucos con estos números y finalmente, le explica algo sobre los números cuadrados, pero Robert se pone de pie y se lanza inmediatamente a la piscina infinita de números.
La sexta noche: En este sueño el diablo le dice a Robert que tiene un amigo llamado Bonatschi que entendió el 0 y se le ocurrió la idea de los números de Bonatschi. El diablo le dice que Bonatschi empezó con el 1, más exactamente con el 1+1=2 y luego cogió las 2 últimas cifras y las sumó hasta el aburrimiento (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…). El diablo le escribe a Robert los números de Bonatschi en un pergamino mágico que era interminable. Después el diablo le enseña otros trucos con estos números, pero esta vez se vale de un reloj, que en vez de horas marcaba meses, y de unas libres, que terminaron por espantar Robert pues se multiplicaron por montones. Cuando acaba la pesadilla Robert sigue durmiendo tranquilamente hasta que un reloj lo despierta.
La séptima noche: Esta vez el diablo lleva a Robert a una casa en forma de cubos y a partir de una base de 16 cubos, construyen un triángulo. Luego el diablo le dice a Robert que coloque en el cubo más alto del triángulo el número 1 y en cada uno de los otros cubos escriba lo que resulte de sumar encima y así hasta terminar. El diablo le dice a Robert que, además de encontrar en este triángulo los números normales, también puede hallar los números triangulares, los saltados, los de Bonatschi, los números pares y los impares, diferenciados con colores luminosos que hacen brillar al triángulo. También le dice a Robert que el triángulo de los de los números es antiquísimo y que lo inventó un chino. Después de aprender muchas cosas sobre este triángulo, Robert se queda profundamente dormido
La octava noche: En este sueño Robert se encuentra en el salón de clases con algunos de sus compañeros y como profesor está el diablo de los números, que en esta ocasión le enseña las posibilidades (en este caso 24) que hay para intercambiar puestos entre varios de sus compañeros, utilizando las iniciales de los nombres de cada uno de ellos (A B C D). También el diablo le dice a Robert que le gustaría saber qué pasa si el mundo da la mano a todo el mundo; y llegan a la conclusión que es una operación que se puede solucionar por medio de los números triangulares. Luego le dice que si no quiere pasar tanto tiempo calculando puede hacerlo dibujando unos círculos. El diablo se despide de Robert diciéndole que se va a tomar unas vacaciones.
La novena noche: Robert sueña infinidad de números que parecen ciclistas. Robert pregunta por el cero y éste sale debajo de su cama porque dice que está enfermo, entonces el diablo le dice que se vaya. El diablo ya ha hecho formar a los números y salen en fila los números normales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…), los números impares (1, 3, 5, 7, 9, 11…), los números de primera, los números de Bonatschi, los triangulares, los saltarines. Después le enseña las series y le explica trucos con los números quebrados. El diablo desaparece sin hacer ruido.
La décima noche: Robert está con el diablo en una sala de cine y éste le da un ordenador para que practique. El diablo le enseña, con las clases de números ya vistos, como la serie de Bonatschi, los números normales, los números quebrados, con lo saltados, que el péndulo oscila cada vez más hacia una cifra media (1, 618 033 989…), dando en las clases de números este mismo resultado. También le enseña, por medio de un pentágono y otras figuras geométricas, que esta cifra no sólo se aplica a los números. La voz del diablo se fue haciendo más débil y Robert despertó recordando sólo el 1, 6…
La undécima noche: En el sueño Robert le dice al diablo que quiere saber algo más de todo lo que le ha enseñado y por qué todo sale exacto. El diablo le explica que para todo hay unas pruebas o principios que se deben demostrar. Le cuenta que uno de sus colegas (Lord Russell) quiso hacer una demostración y con el tiempo alguien comprobó que era falsa, por eso con los números todo debe ser comprobado. Finalmente, el diablo quiere hacerle entender a Robert que en las Matemáticas siempre hay por hacer. Con esta conversación el diablo desapareció del sueño de Robert.
jueves, 8 de septiembre de 2011
ULTIMO TALLER DE MATEMATICAS
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. La alcancía de un niño contiene dos veces más monedas de diez centavos que de cinco centavos y cuatro veces más monedas de un centavo que monedas de cinco. Hay 42 monedas en la alcancía ¿Cuál es el valor total de las monedas?
Sea X= las monedas de 5 centavos
Sea 2X= las monedas de 10 centavos
Sea 4X= las monedas de 1 centavo.
X+2X+4X= 42
7X= 42
X=42/7 = 6 monedas de 5 centavos
2X= 2(6)= 12 monedas de 10 centavos
4X= 4(6)= 24 monedas de 1 centavo
2. En un local de comida rápida, una orden de 5 hamburguesas, 2 papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de 4 hamburguesas, 3 papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de 6 hamburguesas, 4 papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco?
Sea X= el precio de las hamburguesas
Sea Y= el precio de las papas fritas
Sea Z= el precio del refresco
5X + 2Y + 3Z= 56
4X + 3Y + 2Z=46
6X + 4Y + 3Z= 68
5X + 2Y + 3Z = 56 x (-2)
4X + 3Y + 2Z = 46 x (3)
-10X-10Y-6Z = -112
12X+9Y+6Z=138
2X-Y=26
6X+4Y+3Z = 68 x (-1)
5X+2Y+3Z =56 x (1)
-6X-4Y-3Z=-68
5X+2Y+3Z=56
-X-2Y=-12
2X-Y=26 x (1)
-X-2Y=-12 x (2)
2X-Y=26
-2X-4Y=-24
-5Y=2
Y=- 2/5
El valor de X:
2X-Y=26
2X-(2/5) =26
2X=(130-2)/5 = 128/5
X=128/5 ÷ 2=128/10=64/5
3. Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, 5 frascos de vitamina C y 25 frascos de vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, 4 de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos. Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de las vitaminas A, C y D.
Sea X= el precio de la vitamina A
Sea Y= el precio de la vitamina C
Sea Z= el precio de la vitamina D
10X+5Y+25Z= 355
20X+10Y+10Z=310
12X+10Y+15Z= 266
10X+5Y+25Z=355 x (-2)
20X+10Y+10Z=310 x (5)
-20X-10Y-50Z=-710
100X+50Y+50Z=1550
80X+40Y=840 ecuación numero 4
12X+10Y+15Z= 266 x (2)
20X+10Y+10Z=310 x (-3)
24X+20Y+30Z=532
-60X-30Y-30Z=-930
-36X-10Y=-398 ecuación numero 5
Comparamos 4 y 5=
80X+40Y=840 x (1)
-36X-10Y=-398 x (4)
80X+40Y=840
-144X-40Y= -1592
-64X=-752
X=(-752)/(-64) = $11,75
El valor de y:
80X+40Y=840
80(11,75) +40Y=840
840+40Y=840
40Y=840-940
40Y=100
9Y=100/40 = $2,5
El valor de Z:
10X+5Y+25Z=355
10(11,75)+5(2,5)+25Z=355
117,5+12,5+25Z=355
Z=(355-130)/25
Z=225/25 = $9
Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera solución contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30% ¿Cuántos litros de cada solución debe usar?
Sea X=solución del 10%
Sea Y= solución de 30%
Sea Z= solución del 50%
Y+3Y= 60
4Y= 60
Y=60/4 =15
3(15)=45 litros
2(15)=30 litros
5. Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20,000. Una de ellas paga un 6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al final del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940, y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de $720. ¿Cuánto invirtió en cada una de las acciones?
0,07X+0,06Y=340
0,06X+0,08Y=720
0,07X+0,06Y=340 x (-0,08)
0,06X+0,08Y=720 x (0,06)
-0,0056X-0,0048Y=-27,2
0,0036+0,0048Y=43,2
-0,0020X=16
X=16/(o,oo20) = 8000 acciones de 7%
0,07 (8000)+0,06Y=340
560+0,06Y=340
Y=200/0,06 = 3333 acciones de 6%
La suma de las áreas de dos cuadrados es 106m2. y la suma de sus perímetros es 56m. Determina la medida de los lados de los cuadrados.
A1+A2= 106 m^2
4L+4L=56 m
8L=56m
L=56m/8 =7m
A1=(7〖m)〗^2=49 m^2
A1+A2=106 m^2
A2=106 m^2-49m^2=57m^2
A2=57m^2
l_2 = √(57 m^2 )
7. El perímetro de un rectángulo es 46m. La medida de la diagonal es 17m. Determinar las dimensiones de los lados del rectángulo.
2X+2Y=46
X^2+Y^2=(1〖7)〗^2
X^2+Y^2=289
2X+2Y=46
2(X+Y)=46
X+Y=46/2
X+Y=23
Y=23-X
Sustituimos:
X^2+Y^2=289
X^2+(23-〖X)〗^2 =289
X^2+529-46X+X^2=289
2X^2-46X+529-289=0
2X^2-46X+240=0
2 (X^2-23+120)=0
X^2 -23X+120=0
(X-8)(X-15)=0
X-8=0 ᴧ X-15=0
X=8 ᴧ X=15
El valor de Y:
Y=23-X
Y=23-15=8
8. ¿Cuáles son los números cuyo producto es 270 y cuyo cociente es 1.2?
Sea X= el numero mayor
Sea Y=el numero menor
X x Y=270
x/y = 0,2 X= 0,2Y
Reemplazamos
X x Y=270
(0,2Y) x Y=270
0,2y^2=270
Y^2=270/0,2 =1350
√(y^2 )=√1350
Y=36,74
El valor de X:
X=0,2y
X=0,2 x (36,74)
X=7,34
9. Un círculo es tangente exteriormente a otro. La suma de sus áreas es de 80π
cm2. Determina el radio de cada círculo, sabiendo que sus centros están separados 12cm.
A_o= ⨅ x R^2 (área del circulo)
A_o1+ A_o2= 80⨅〖cm〗^2
⨅ x R1^2+⨅ x R2^2=80⨅
⨅ (R1^2+ R2^2)=80 ⨅
R1^2+ R2^2=80
R1^2= 80 - R2^2
R1^2= 80 -6^2
R1^2=80 – 36
R1^2=44 〖cm〗^2
√(R1^2 )=√44 〖cm〗^2
R1=6,6 cm
10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso de que no tengan solución, argumenta tu respuesta. Cuando tengan soluciones infinitas, encuentra al menos tres de ellas
1. La alcancía de un niño contiene dos veces más monedas de diez centavos que de cinco centavos y cuatro veces más monedas de un centavo que monedas de cinco. Hay 42 monedas en la alcancía ¿Cuál es el valor total de las monedas?
Sea X= las monedas de 5 centavos
Sea 2X= las monedas de 10 centavos
Sea 4X= las monedas de 1 centavo.
X+2X+4X= 42
7X= 42
X=42/7 = 6 monedas de 5 centavos
2X= 2(6)= 12 monedas de 10 centavos
4X= 4(6)= 24 monedas de 1 centavo
2. En un local de comida rápida, una orden de 5 hamburguesas, 2 papas fritas y 3 refrescos cuesta 56 pesos. Una orden de 4 hamburguesas, 3 papas fritas y 2 refrescos cuesta 46 pesos. Una orden de 6 hamburguesas, 4 papas fritas y 3 refrescos cuesta 68 pesos ¿Cuál será el precio de una sola hamburguesa con un refresco?
Sea X= el precio de las hamburguesas
Sea Y= el precio de las papas fritas
Sea Z= el precio del refresco
5X + 2Y + 3Z= 56
4X + 3Y + 2Z=46
6X + 4Y + 3Z= 68
5X + 2Y + 3Z = 56 x (-2)
4X + 3Y + 2Z = 46 x (3)
-10X-10Y-6Z = -112
12X+9Y+6Z=138
2X-Y=26
6X+4Y+3Z = 68 x (-1)
5X+2Y+3Z =56 x (1)
-6X-4Y-3Z=-68
5X+2Y+3Z=56
-X-2Y=-12
2X-Y=26 x (1)
-X-2Y=-12 x (2)
2X-Y=26
-2X-4Y=-24
-5Y=2
Y=- 2/5
El valor de X:
2X-Y=26
2X-(2/5) =26
2X=(130-2)/5 = 128/5
X=128/5 ÷ 2=128/10=64/5
3. Una farmacia vende 10 frascos de vitamina A, 5 frascos de vitamina C y 25 frascos de vitamina D, todo por un valor de 355 pesos. Además, vende 20 frascos de vitamina A, 10 de vitamina C y 10 de vitamina D por un total de 310 pesos. Por otra parte vende 12 frascos de vitamina A, 4 de vitamina C y 15 de vitamina D por un total de 266 pesos. Encuentra el costo correspondiente a cada frasco de las vitaminas A, C y D.
Sea X= el precio de la vitamina A
Sea Y= el precio de la vitamina C
Sea Z= el precio de la vitamina D
10X+5Y+25Z= 355
20X+10Y+10Z=310
12X+10Y+15Z= 266
10X+5Y+25Z=355 x (-2)
20X+10Y+10Z=310 x (5)
-20X-10Y-50Z=-710
100X+50Y+50Z=1550
80X+40Y=840 ecuación numero 4
12X+10Y+15Z= 266 x (2)
20X+10Y+10Z=310 x (-3)
24X+20Y+30Z=532
-60X-30Y-30Z=-930
-36X-10Y=-398 ecuación numero 5
Comparamos 4 y 5=
80X+40Y=840 x (1)
-36X-10Y=-398 x (4)
80X+40Y=840
-144X-40Y= -1592
-64X=-752
X=(-752)/(-64) = $11,75
El valor de y:
80X+40Y=840
80(11,75) +40Y=840
840+40Y=840
40Y=840-940
40Y=100
9Y=100/40 = $2,5
El valor de Z:
10X+5Y+25Z=355
10(11,75)+5(2,5)+25Z=355
117,5+12,5+25Z=355
Z=(355-130)/25
Z=225/25 = $9
Un laboratorista tiene tres soluciones que contienen cierto ácido. La primera solución contiene 10% de sustancia ácida, la segunda 30% y la tercera 50%. Desea utilizar las tres soluciones para obtener una mezcla de 60 litros que contenga 30% de ácido, utilizando tres veces más solución de la solución de 50% que la de 30% ¿Cuántos litros de cada solución debe usar?
Sea X=solución del 10%
Sea Y= solución de 30%
Sea Z= solución del 50%
Y+3Y= 60
4Y= 60
Y=60/4 =15
3(15)=45 litros
2(15)=30 litros
5. Una mujer compró tres clases diferentes de acciones por $20,000. Una de ellas paga un 6% anual de intereses, otra paga un 7%, y la otra un 8% anual. Al final del primer año, la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 7% es de $940, y la suma de los intereses de las acciones al 6% y al 8% es de $720. ¿Cuánto invirtió en cada una de las acciones?
0,07X+0,06Y=340
0,06X+0,08Y=720
0,07X+0,06Y=340 x (-0,08)
0,06X+0,08Y=720 x (0,06)
-0,0056X-0,0048Y=-27,2
0,0036+0,0048Y=43,2
-0,0020X=16
X=16/(o,oo20) = 8000 acciones de 7%
0,07 (8000)+0,06Y=340
560+0,06Y=340
Y=200/0,06 = 3333 acciones de 6%
La suma de las áreas de dos cuadrados es 106m2. y la suma de sus perímetros es 56m. Determina la medida de los lados de los cuadrados.
A1+A2= 106 m^2
4L+4L=56 m
8L=56m
L=56m/8 =7m
A1=(7〖m)〗^2=49 m^2
A1+A2=106 m^2
A2=106 m^2-49m^2=57m^2
A2=57m^2
l_2 = √(57 m^2 )
7. El perímetro de un rectángulo es 46m. La medida de la diagonal es 17m. Determinar las dimensiones de los lados del rectángulo.
2X+2Y=46
X^2+Y^2=(1〖7)〗^2
X^2+Y^2=289
2X+2Y=46
2(X+Y)=46
X+Y=46/2
X+Y=23
Y=23-X
Sustituimos:
X^2+Y^2=289
X^2+(23-〖X)〗^2 =289
X^2+529-46X+X^2=289
2X^2-46X+529-289=0
2X^2-46X+240=0
2 (X^2-23+120)=0
X^2 -23X+120=0
(X-8)(X-15)=0
X-8=0 ᴧ X-15=0
X=8 ᴧ X=15
El valor de Y:
Y=23-X
Y=23-15=8
8. ¿Cuáles son los números cuyo producto es 270 y cuyo cociente es 1.2?
Sea X= el numero mayor
Sea Y=el numero menor
X x Y=270
x/y = 0,2 X= 0,2Y
Reemplazamos
X x Y=270
(0,2Y) x Y=270
0,2y^2=270
Y^2=270/0,2 =1350
√(y^2 )=√1350
Y=36,74
El valor de X:
X=0,2y
X=0,2 x (36,74)
X=7,34
9. Un círculo es tangente exteriormente a otro. La suma de sus áreas es de 80π
cm2. Determina el radio de cada círculo, sabiendo que sus centros están separados 12cm.
A_o= ⨅ x R^2 (área del circulo)
A_o1+ A_o2= 80⨅〖cm〗^2
⨅ x R1^2+⨅ x R2^2=80⨅
⨅ (R1^2+ R2^2)=80 ⨅
R1^2+ R2^2=80
R1^2= 80 - R2^2
R1^2= 80 -6^2
R1^2=80 – 36
R1^2=44 〖cm〗^2
√(R1^2 )=√44 〖cm〗^2
R1=6,6 cm
10. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso de que no tengan solución, argumenta tu respuesta. Cuando tengan soluciones infinitas, encuentra al menos tres de ellas
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